古埃及分数的现代奇遇
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将整数表示为分数和,可以追溯到3000多年前古埃及中的数学问题,而与之关系密切的古埃及分数,至今仍激发着数学家的好奇心。上世纪80年代,著名数学家埃尔德什·帕尔猜想,任何“足够大”的整数集合都能通过对其倒数求和最终组合成,1但他并未证明自己提出的猜想。最近,这个延续了40年的猜想得以解决。
古埃及分数
考古发现,数千年前的古埃及人就已经熟练掌握了相当程度的数学知识。纵然历经沧海桑田,仍有文献流传了下来,其中最著名的就是莱因德古本(Rhind Mathematical Papyrus)和莫斯科古本(Moscow Mathematical Papyrus)。这些莎草纸上记录了数十个问题及解答,其中一题是:如何让 个人平分 片面包?就其涉及的数学而言,这个问题对于今天的我们而言似乎过于显然了:只需要每人分 片就行了。但是考古学家们发现,在古埃及,并没有 这个数字!在现存文献中,除了 和 以外,所有的分数都是以 的形式出现的。这可能是因为,在分面包的时候,将一块面包平均分成 份更容易操作。古埃及人在计算的时候,似乎需要借助分数表,这也在上述古本中占据了一定篇幅。而对于上面的问题,古埃及人给出的答案是
也就是说:将 片面包中的 片,每片平均分成 块,这 块每人拿 块;剩下的 片,每片平均分成 块,这 块中的 块每人再拿 块;最后还剩的 小块,每块 等分,最后每人拿 块。今天,我们把形如 的分数称为古埃及分数。当然,每一个分数都可以拆分成古埃及分数的和,因为
这自然没有什么难度。这说明古埃及人的分数虽然复杂,但跟我们今天所使用的分数表示的东西是一样的:一块面包不管怎么等分,得到的都是有理数。但要是反过来问的话,难度就大大提高了:假如选定一组互不相同又大于
如果
但是这只是运气好;如果
那这回我们取
那么
这说明
集合论中,一般通过映射来比大小:如果两个集合
莱因德纸草书记载的奖有理数表示为分数和 图片来源:Alamy Stock Photo
那么我们所需要的“大”是怎么个大法呢?其实核心诉求是:我们不管
这个概率该怎么算呢?我们定义
这里
称为上密度,以及下极限
称为下密度。当数列不收敛的时候,会趋于上下摆动,而上下极限就是摆动的上界和下界。自然密度的概念非常符合我们的直观,比如偶数集和奇数集的自然密度都是
也就说,素数的自然密度是
在1980年的一篇文章[1]中,匈牙利数学家埃尔德什·帕尔(Erdős Pál,英语中写作Paul Erdős)与美国数学家罗纳德·葛立恒(Ronald Graham)提出了将
如果把大于 的整数分成有限个 份(或者用数学家们的话讲,把数字染成 种不同颜色),那么是否必有一份包含了我们想要的有限子集 ? 如果 ,那么 中是否包含了我们想要的 ?
前一问中分出的
不过即便是证明第一问,也并非易事。这种涉及加法的数论研究一般将其称为加性数论或堆垒数论。这个分支相信许多数学爱好者有所耳闻,因为中国解析数论学派的代表人物华罗庚、陈景润等人,都在这一方面作出巨大贡献。华罗庚还写过《堆垒素数论》一书;大家熟知的哥德巴赫猜想也属于这一领域。
对于加性数论的大多数问题,常用初等方法乃至代数方法接连失效,剩下能打的就只有解析数论了。所谓解析数论,就是将数论问题转化为对某个函数或积分的估计(所谓解析就是分析,即涉及极限,微积分及其衍生产物的学科)。这也是加性数论对外行来说过于抽象的原因:明明是一个数论问题,证明过程却全是积分和估计式。
埃尔德什和葛立恒的猜想也是如此。埃尔德什于1996年与世长辞,他一生未婚,也没有儿女;只留给人类1525篇论文,他也因此成为了发表论文数量最多的数学家。直到生命的尽头,他都没有看到自己的猜想得到证实。几年后的2003年,欧内斯特·克鲁特(Ernest S. Croot III)的论文[2]横空出世,证明了猜想的第一问。值得一提的是,早在2000年,克鲁特就在自己的博士论文中证明了这一结论。克鲁特引入了强有力的调和分析方法,既优雅又极富技巧性。这让学术界对这位新星大为期待。
所谓调和(harmonic),在物理中一般翻译为谐波,这门学科来自于傅立叶的惊人发现——很多周期函数都能分解成三角函数的无穷和,也就是傅里叶级数。更加神奇的是,傅里叶级数和傅里叶积分可以用来估计数论中的一些函数,这就将调和分析和解析数论紧密地联系在了一起。从那时起,这两门学科就互相支撑着向前,并在二十世纪现代数学的抽象浪潮下飞速发展。
但面对第二问,克鲁特的巧妙方法失效了。不论他如何摆弄现有的工具,都没办法取得更多进展。此后,克鲁特转向了其他问题的研究,我们的猜想也在二十年中停滞不前。到了2020年,葛立恒因病去世,他也没有能够看到猜想的解决。
转机发生在2021年。九月的一天,牛津大学的博士后托马斯·布鲁姆(Thomas Bloom)接到了一项任务,给他们的讨论组讲解二十年前克鲁特的论文。在准备的过程中,布鲁姆突然灵感乍现——克鲁特的方法并没有走到尽头!他马上着手这项工作。
在这二十年中,虽然猜想并没有进展,但调和分析等前沿数学并没有止步不前。现在,布鲁姆的手上掌握了更多工具。他采用更先进的组合数论/解析数论技术,改进了克鲁特的方法,最终在几个月内完成了证明。
布鲁姆证明的结论甚至比原来的猜想更强——只要
那么现在,这个跨越了40年的猜想总算告一段落。不过数学是没有止境的;除了那些令人眼花缭乱的技巧,我们还剩下一些问题:哪些集合的倒数和凑不成
更多的新问题又将把我们引向何处呢?让我们拭目以待。
参考文献
[1] Erdős, P. and Graham, R. L.: Old and new problems and results in combinatorial number theory. Enseign. Math. 30-44 (1980)
[2] Croot, Ernest S., III (2003). "On a coloring conjecture about unit fractions". Annals of Mathematics. 157 (2): 545–556. arXiv:math.NT/0311421. doi:10.4007/annals.2003.157.545. MR 1973054.
[3] Cepelewicz, Jordana (2022-03-09). "Math's 'Oldest Problem Ever' Gets a New Answer". Quanta Magazine. Retrieved 2022-03-09.
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